ELE618 - Sistemas Elétricos Industriais

Instalações Elétricas - Ademaro A. M. B. Cotrim
Capítulo 9 - O aquecimento dos condutores e a queda de tensão

Prof. Dr. Thales A. C. Maia

UFMG - DEE

Introdução

Introdução

O dimensionamento correto dos condutores e de sua proteção contra correntes de sobrecarga e de curto-circuito é essencialmente um problema térmico.

  • Trata-se de limitar a corrente (regime permanente e transitório) de modo que os condutores não atinjam temperaturas que possam afetar a integridade física, química e mecânica da isolação.
  • Os danos que uma isolação pode sofrer dependem não só da temperatura, mas principalmente da duração da solicitação térmica.

Equilíbrio térmico e corrente em regime permanente

Princípio do Equilíbrio Térmico

A corrente elétrica produz calor por efeito Joule. O equilíbrio térmico é atingido quando o calor produzido for igual ao calor dissipado no ambiente.

  • Nessas condições, nenhum acúmulo de calor será possível e o condutor manterá uma temperatura constante.
  • Temperatura de regime \(\theta_R\).
  • Sobretemperatura de regime \(\Delta\theta_R = \theta_R - \theta_A\) (sendo \(\theta_A\) a temperatura ambiente).
Fig. 1: Equilíbrio térmico em um condutor ou cabo isolado.

Modelo de circuitos:

  • Expressão do equilíbrio (Fourrier):
    • \(\rho \frac{l}{S} I^2 = K \Delta \theta_R\)
    • [Perdas] = [Meio] [Fluxo térmico]
  • \(K\): condutância térmica: \(K = \frac{k_1 A}{z}~(W/{}^oC)\)
    • \(k_1\): coeficiente de transmissão.

Temperatura de Funcionamento e Modelo Simplificado

A temperatura de funcionamento (\(\theta_R\)) é considerada na superfície de separação entre o condutor e a isolação.

Fig. 2: Variação de temperatura em um condutor isolado.
Fig. 3: Modelo simplificado de condutor isolado

Capacidade de Condução de Corrente (\(I_Z\))

A capacidade de condução de corrente (\(I_Z\)) é a corrente que, circulando continuamente pelo condutor, produz a máxima sobretemperatura de regime (\(\Delta\theta_Z = \theta_Z - \theta_A\)).

\[ I_Z = (2,2 \text{ ou } 2,6) \sqrt{\frac{k_1}{\rho}} \sqrt{\Delta\theta_Z} S^{0,625} \]

\[ I_Z = \alpha S^{0,625} \]

A corrente depende:

  • Do material condutor (\(\rho\)).
  • Da seção nominal \(S\).
  • Da máxima sobretemperatura de regime \(\Delta\theta_Z\).
  • Do coeficiente de transmissão global de calor \(k_1\) (isolação e condições de instalação).

\[ \theta_R = \theta_A + ( \theta_z - \theta_A ) \left( \frac{I}{I_z} \right)^2 \]

  • Para cada 5 \({}^{o}\)C além de \(\theta_Z\), cai pela metade a vida útil do cabo.
  • Conclui-se que não convém levar a temperatura de regime de um cabo a limites extremos.

Valores do coeficiente \(\alpha\) para alguns tipos de linhas (temperatura ambiente \(30 ^\circ\text{C}\)).

Tab. 1: Valores do coeficiente \(\alpha\) para condutores de cobre (temperatura ambiente 30 °C).
Tipo de linha Cobre - PVC (2 cond.) Cobre - PVC (3 cond.) Cobre - EPR/XLPE (2 cond.) Cobre - EPR/XLPE (3 cond.)
B 13,5 12 18 16
C 15 13,5 19 17

Fig. 4: Temperatura de regime permanente em função da relação n para condutores de cobre com isolações de PVC e de EPR ou XLPE para temperatura ambiente de 30 \({}^{o}\)C.

Capacidades de Condução de Corrente

Valores Tabelados (NBR 5410)

Os valores de \(I_Z\) são apresentados em função de:

  • Material condutor (cobre ou alumínio).
  • Tipo de isolação (PVC, EPR ou XLPE).
  • Tipo de linhas elétricas (métodos de referência da Tabela 5.28).
  • Número de condutores carregados (2 ou 3).
  • Temperatura ambiente ou do solo.
  • Resistividade térmica do solo (linhas subterrâneas).

Métodos de Referência

Os métodos de referência são caracterizados por:

  • A1 \(\rightarrow\) condutores isolados em eletroduto de seção circular embutido em parede termicamente isolante.
  • A2 \(\rightarrow\) cabo multipolar em eletroduto de seção circular embutido em parede termicamente isolante.
  • B1 \(\rightarrow\) condutores isolados em eletroduto de seção circular sobre parede de madeira.
  • B2 \(\rightarrow\) cabo multipolar em eletroduto de seção circular sobre parede de madeira.
  • C \(\rightarrow\) cabos unipolares ou cabo multipolar sobre parede de madeira.
  • D \(\rightarrow\) cabo multipolar em eletroduto enterrado no solo a uma profundidade de 70 cm.
  • E \(\rightarrow\) cabo multipolar ao ar livre.
  • F \(\rightarrow\) cabos unipolares justapostos (na horizontal, na vertical ou em trifólio) ao ar livre.

Número de Condutores Carregados

Essas tabelas correspondem às tabelas da NBR 5410 e são válidas para circuitos simples com dois ou três condutores carregados, isto é:

  • dois condutores isolados, dois cabos unipolares ou um cabo bipolar; ou
  • três condutores isolados, três cabos unipolares ou um cabo tripolar.

Em resumo, temos a seguinte situação para o número de condutores carregados a considerar:

  • Dois condutores carregados: circuito monofásico a dois condutores e circuito duas fases sem neutro.
  • Três condutores carregados: circuito monofásico a três condutores, duas fases com neutro, trifásico sem neutro e trifásico com neutro.

Temperatura Ambiente

O valor da temperatura ambiente a utilizar é o da temperatura do meio circundante, quando os condutores ou cabos considerados não estiverem operando.

No caso de a temperatura ambiente ou do solo no local da instalação ser diferente das temperaturas de referência, haverá alteração no valor da capacidade de condução de corrente, e:

  • \(I_Z\) será reduzido para \(\theta_A > 30 ^\circ\text{C}\) ou \(20 ^\circ\text{C}\); e
  • \(I_Z\) aumentará para \(\theta_A < 30 ^\circ\text{C}\) ou \(20 ^\circ\text{C}\).

Fatores de Correção e Agrupamento

Fatores de agrupamento Quando for instalado mais de um circuito na mesma linha elétrica. Os fatores de agrupamento são sempre calculados admitindo-se que todos os condutores ou cabos agrupados sejam de mesmo tipo, têm a mesma seção e estão igualmente carregados.

Fatores de temperatura Fatores de correção para temperaturas ambientes diferentes de \(30 ^\circ\text{C}\) para linhas não-subterrâneas e de \(20 ^\circ\text{C}\) (temperatura do solo) para linhas subterrâneas.

Capacidades de Condução

Tab. 2: Capacidades de condução de corrente em ampères, para os métodos de referência A1, A2, B1, B2, C e D.
Seções nominais (mm²) A1 (2 cond.) A1 (3 cond.) B1 (2 cond.) B1 (3 cond.)
1,5 14,5 13,5 17,5 15,5
2,5 19,5 18 24 21
Tab. 3: Valores do coeficiente \(\alpha\) para alguns tipos de linhas (temperatura ambiente \(30 ^\circ\text{C}\)).
Tipo de linha Cobre - PVC (2 cond.) Cobre - PVC (3 cond.) Cobre - EPR/XLPE (2 cond.) Cobre - EPR/XLPE (3 cond.)
B 13,5 12 18 16
C 15 13,5 19 17

Exemplo: Capacidade de Condução e Temperatura

Seja um circuito trifásico constituído por três condutores de cobre, isolados com PVC, de \(4 \text{ mm}^2\), instalados em eletroduto embutido em alvenaria em local com temperatura ambiente de \(30 ^\circ\text{C}\).

Código 
# Dados iniciais
a = 12        # Coeficiente (tipo B, 3 condutores carregados)
S = 4         # Seção nominal (mm²)
θ_A = 30      # Temperatura ambiente inicial (°C)
θ_Z = 70      # Temperatura máxima de regime do PVC (°C)

# --- (a) Capacidade de condução de corrente (I_Z) ---
# A fórmula empírica a * S^0.625 dá ~28.54A. 
# Adotaremos o valor normalizado/arredondado de 28A:
I_Z = 28

println("(a) Capacidade de condução de corrente (I_Z)")
println("I_Z = $I_Z A\n")

# --- (b) Temperatura de regime (θ_R) com I = 56 A (sobrecarga) ---
I_b = 56
θ_R_b = θ_A + (θ_Z - θ_A) * (I_b / I_Z)^2

println("(b) Temperatura de regime (θ_R) com I = 56 A")
println("θ_R = $θ_R_b °C\n")

# --- (c) Temperatura de regime (θ_R) com I = 14 A ---
I_c = 14
θ_R_c = θ_A + (θ_Z - θ_A) * (I_c / I_Z)^2

println("(c) Temperatura de regime (θ_R) com I = 14 A")
println("θ_R = $θ_R_c °C\n")

# --- (d) Nova capacidade (I_Z1) para ambiente de 45 °C ---
θ_A1 = 45
I_Z1 = I_Z * sqrt((θ_Z - θ_A1) / (θ_Z - θ_A))

println("(d) Nova capacidade (I_Z1) para ambiente de 45 °C")
# Arredondando para 2 casas decimais
I_Z1_formatado = round(I_Z1, digits=2)
println("I_Z1 = $I_Z1_formatado A")
(a) Capacidade de condução de corrente (I_Z)
I_Z = 28 A

(b) Temperatura de regime (θ_R) com I = 56 A
θ_R = 190.0 °C

(c) Temperatura de regime (θ_R) com I = 14 A
θ_R = 40.0 °C

(d) Nova capacidade (I_Z1) para ambiente de 45 °C
I_Z1 = 22.14 A

Critério da Capacidade de Condução de Corrente

Fatores de Correção

Quando as condições do circuito forem diferentes daquelas adotadas nas tabelas padronizadas, utilizam-se os fatores de correção:

  • Fator de correção de temperatura ambiente/solo (\(f_1\)).
  • Fator de correção de resistividade térmica do solo (\(f_2\)).
  • Fator de correção de agrupamento (\(f_3\)).

A corrente fictícia de projeto (\(I'_B\)) é calculada por: \[ I'_B = \frac{I_B}{f} \] Onde \(f\) é o produto dos fatores de correção aplicáveis (\(f = f_1 \times f_2 \times f_3\)).

Exemplo de Fator de Agrupamento

Fig. 5: Equivalência de dois circuitos carregados com um circuito carregado

Exemplo: Fatores de Correção (I)

Determinar a seção nominal e a temperatura de regime. Recalcular para temperatura ambiente de \(45 ^\circ\text{C}\) e o agrupamento com mais um circuito.

  • Corrente de projeto: \(I_B = 210 \text{ A}\)
  • Condutores isolados de cobre / PVC
  • Temperatura ambiente: \(\theta_A = 30 ^\circ\text{C}\)
  • Circuito trifásico a 3 condutores
  • Eletroduto aparente de seção circular instalado rente à parede (B1)
Código 
# Dados Iniciais (Caso a e b)
I_B = 210
θ_A_inicial = 30
θ_Z = 70

# (a) Escolha do condutor (Tabela 9.4, coluna B1, 3 condutores)
# Para I_B = 210 A, escolhemos S_1 = 120 mm², que suporta I_Z = 239 A
S_1 = 120
I_Z = 239

println("--- (a) Seção e Capacidade Inicial ---")
println("S_1 = $S_1 mm²")
println("I_Z = $I_Z A\n")

# (b) Temperatura de regime do condutor de 120 mm²
θ_R_1 = θ_A_inicial + (θ_Z - θ_A_inicial) * (I_B / I_Z)^2
println("--- (b) Temperatura de regime ---")
println("θ_R = $(round(θ_R_1, digits=2)) °C\n")

# (c) Novas condições: θ_A = 45 °C e mais um circuito (agrupamento)
θ_A_nova = 45
# Fator de temperatura (Tabela 9.8)
f_1 = 0.79
# Fator de agrupamento para 2 circuitos (Tabela 9.10)
f_3 = 0.8
# Fator total
f = f_1 * f_3

I_B_ficticia = I_B / f

println("--- (c) Novas condições (45 °C e Agrupamento) ---")
println("Fator de correção total f = $f")
println("Corrente fictícia de projeto I_B_ficticia = $(round(I_B_ficticia, digits=2)) A")

# Da Tabela 9.4 (coluna B1, 3 condutores), para I_B_ficticia = 332,27 A:
# Escolhemos S_1 = 240 mm², cujo I_Z tabelado é 370 A
I_Z_tabelado_novo = 370
I_Z_real_novo = I_Z_tabelado_novo * f

println("Nova seção escolhida: S = 240 mm²")
println("Capacidade real do condutor na nova condição: I_Z = $(round(I_Z_real_novo, digits=2)) A\n")

# (d) Temperatura de regime do novo condutor
θ_R_nova = θ_A_nova + (θ_Z - θ_A_nova) * (I_B / I_Z_real_novo)^2
println("--- (d) Nova Temperatura de regime ---")
println("θ_R = $(round(θ_R_nova, digits=2)) °C")
--- (a) Seção e Capacidade Inicial ---
S_1 = 120 mm²
I_Z = 239 A

--- (b) Temperatura de regime ---
θ_R = 60.88 °C

--- (c) Novas condições (45 °C e Agrupamento) ---
Fator de correção total f = 0.6320000000000001
Corrente fictícia de projeto I_B_ficticia = 332.28 A
Nova seção escolhida: S = 240 mm²
Capacidade real do condutor na nova condição: I_Z = 233.84 A

--- (d) Nova Temperatura de regime ---
θ_R = 65.16 °C

Exemplo: Fatores de Correção (II)

Linha subterrânea com dois circuitos de distribuição (a e b). Dimensionar a seção dos cabos, aplicando as correções de instalação subterrânea e agrupamento de condutores.

  • Correntes de projeto: \(I_{Ba} = 123 \text{ A}\) e \(I_{Bb} = 150 \text{ A}\)
  • Cabos unipolares de cobre com isolação de EPR (cobertura de PVC)
  • Eletroduto enterrado a 70 cm no solo (Tabela 5.28, método de referência D)
  • Temperatura do solo: \(\theta_A = 25 ^\circ\text{C}\)
  • Resistividade térmica do solo: \(1,5 \text{ K.m/W}\)
  • Circuito a: Trifásico com neutro (iluminação de descarga) \(\rightarrow\) 4 condutores carregados
  • Circuito b: Trifásico puro \(\rightarrow\) 3 condutores carregados
Código 
# Dados Iniciais
I_Ba = 123
I_Bb = 150

# Fatores de correção
f_1 = 0.96
f_2 = 1.1
f_3 = 0.7
f = f_1 * f_2 * f_3

println("--- Fatores de Correção ---")
println("Fator total f = $(round(f, digits=4))\n")

# --- Cálculos do Circuito a ---
I_Ba_ficticia = I_Ba / f
I_Za_tabelado = 173
I_Za_real = I_Za_tabelado * f

# --- Cálculos do Circuito b ---
I_Bb_ficticia = I_Bb / f
I_Zb_tabelado = 211
I_Zb_real = I_Zb_tabelado * f

# --- Impressão Lado a Lado (Colunas) ---
w = 42 # Largura reservada para a primeira coluna (em quantidade de caracteres)

# Construindo as linhas a serem impressas
linha1_a = "--- Circuito a ---"
linha1_b = "--- Circuito b ---"

linha2_a = "Corrente fictícia I'_Ba = $(round(I_Ba_ficticia, digits=2)) A"
linha2_b = "Corrente fictícia I'_Bb = $(round(I_Bb_ficticia, digits=2)) A"

linha3_a = "Seção escolhida: S = 50 mm²"
linha3_b = "Seção escolhida: S = 95 mm²"

linha4_a = "Capacidade real I_Za = $(round(I_Za_real, digits=2)) A"
linha4_b = "Capacidade real I_Zb = $(round(I_Zb_real, digits=2)) A"

# Imprimindo as linhas fundindo a coluna A com a coluna B usando o rpad
println(rpad(linha1_a, w) * linha1_b)
println(rpad(linha2_a, w) * linha2_b)
println(rpad(linha3_a, w) * linha3_b)
println(rpad(linha4_a, w) * linha4_b)
--- Fatores de Correção ---
Fator total f = 0.7392

--- Circuito a ---                        --- Circuito b ---
Corrente fictícia I'_Ba = 166.4 A         Corrente fictícia I'_Bb = 202.92 A
Seção escolhida: S = 50 mm²               Seção escolhida: S = 95 mm²
Capacidade real I_Za = 127.88 A           Capacidade real I_Zb = 155.97 A

Condutores em Paralelo

Aplicação

O uso de condutores em paralelo (na mesma fase ou polaridade) é uma solução prática para o transporte de altas correntes. Geralmente usados para seções superiores a \(50 \text{ mm}^2\) (cobre) ou \(70 \text{ mm}^2\) (alumínio).

  • Devem ter a mesma constituição, seção nominal e comprimento.
  • Não devem ter derivações ao longo do percurso.
  • Em níveis diferentes de bandejas, evitar a formação em trifólios se as reatâncias diferirem consideravelmente.

Exemplo: Condutores em Paralelo

Determinar a seção nominal necessária para cada condutor da fase e a respectiva capacidade de condução de corrente real, considerando o arranjo em paralelo.

  • Corrente de projeto: \(I_B = 750 \text{ A}\)
  • Cabos unipolares de cobre com isolação e cobertura de PVC
  • Instalação em escada (leitos) para cabos; cabos contíguos (Tabela 5.28, método de referência F)
  • Temperatura ambiente: \(\theta_A = 30 ^\circ\text{C}\)
  • Circuito trifásico (3F) com três cabos unipolares por fase, totalizando 9 cabos no circuito.
Código 
# Dados Iniciais
I_B_total = 750

# Como temos 3 cabos unipolares por fase, tudo se passa como se
# tivéssemos 3 circuitos trifásicos independentes (3 condutores cada).
num_circuitos = 3

# Corrente dividida por circuito
I_B_por_circuito = I_B_total / num_circuitos

println("--- Divisão da Corrente ---")
println("I_B por circuito = $(round(I_B_por_circuito, digits=2)) A\n")

# Fatores de Correção
# Três circuitos trifásicos contíguos depositados horizontalmente
# no leito (escada). Consultando a Tabela de Agrupamento:
f_3 = 0.96

# Corrente fictícia de projeto (Expressão 9.23)
I_B_ficticia = I_B_por_circuito / f_3

println("--- Corrente Fictícia ---")
println("Fator de agrupamento (f_3) = $f_3")
println("I'_B = $(round(I_B_ficticia, digits=2)) A\n")

# Escolha do condutor
# Da Tabela 9.6 (método F, coluna 6 para 3 condutores de PVC),
# buscamos uma capacidade I'_Z >= 260,4 A.
# Encontramos a seção S_1 = 95 mm², que possui I'_Z tabelado de 275 A.
I_Z_tabelado = 275
S_1 = 95

# Capacidade de condução de corrente real de cada cabo (I_Z)
I_Z_real = I_Z_tabelado * f_3

println("--- Especificação Final ---")
println("Seção adotada por condutor: S = $S_1 mm²")
println("Capacidade real de cada condutor: I_Z = $(round(I_Z_real, digits=2)) A")
println("Conclusão: Devemos ter na escada (leitos) 3 grupos de 3 cabos de 95 mm², um por fase em cada grupo.")
--- Divisão da Corrente ---
I_B por circuito = 250.0 A

--- Corrente Fictícia ---
Fator de agrupamento (f_3) = 0.96
I'_B = 260.42 A

--- Especificação Final ---
Seção adotada por condutor: S = 95 mm²
Capacidade real de cada condutor: I_Z = 264.0 A
Conclusão: Devemos ter na escada (leitos) 3 grupos de 3 cabos de 95 mm², um por fase em cada grupo.

Transitório Térmico e Tempo de Sobrecarga

Transitório Térmico

Ao circular uma corrente, o condutor passa por um transitório até atingir a temperatura de regime \(\theta_R\).

Fig. 6: Transitório e equilíbrio térmico em um condutor ou cabo isolado.

  • A constante de tempo \(k_T\) representa o tempo necessário para atingir cerca de \(63\%\) da sobretemperatura final.
  • O tempo para atingir o regime é, na prática, cerca de \(4,6 k_T\) - Para \(99\%\) da temperatura final.

Constante de Tempo (\(k_T\))

A constante de tempo relaciona a capacidade térmica (\(C\)) com a condutância térmica (\(K\)): \[ k_T = \frac{C}{K} \]

Fig. 7: Significado gráfico da constante de tempo
Fig. 8: Constante de tempo (kT) em função de S, para alguns valores de a; condutores isolados Cu/PVC

Temperatura de Sobrecarga e Partida a Frio vs Quente

Fig. 9: Transitório e equilíbrio térmico no condutor isolado do exemplo; (a) partida a frio, (b) partida a quente.

Exemplo: Transitório Térmico

Circuito constituído por:

  • 3 condutores isolados de cobre com isolação de PVC.
  • Seção: \(6 \text{ mm}^2\).
  • Instalado em eletroduto embutido em alvenaria (Instalação B1).
  • Temperatura ambiente: \(\theta_A = 30 ^\circ\text{C}\).
Código 
# Dados Iniciais
S = 6

# --- (a) Capacidade de condução de corrente ---
# Da Tabela 9.3 (método B1, 3 condutores carregados), obtemos o fator a:
a = 12

# Pela Expressão 9.10: I_Z = a * S^(0,625)
I_Z = a * (S^0.625)

println("--- (a) Capacidade de condução de corrente ---")
println("I_Z calculada = $(round(I_Z, digits=2)) A")
println("Valor arredondado/adotado: I_Z ≅ 36 A\n")


# --- (b) Constante de tempo (k_T) ---
# Utilizando a expressão 9.46 para condutores isolados de cobre com PVC:
# k_T = (10^4 / a^2) * (0,7*S^0,75 + 0,8*S^0,5 + 0,36*S^0,25)

fator_multiplicador = 10^4 / a^2
termos_area = (0.7 * (S^0.75)) + (0.8 * (S^0.5)) + (0.36 * (S^0.25))
k_T = fator_multiplicador * termos_area

println("--- (b) Constante de tempo (k_T) ---")
println("k_T calculado = $(round(k_T, digits=2)) s")
println("Valor arredondado/adotado: k_T ≅ 366 s")


# --- (e) Tempo para atingir a temperatura de sobrecarga (θ_S) ---
# Sobrecorrente I = 52,2 A (n = 1,45); isolação PVC ⇒ θ_S = 100 °C (Tabela 9.14)
θ_A = 30
θ_Z = 70
θ_S = 100
n_e = 1.45
k_T_adotado = 366   # valor adotado no item (b)

# Temperatura de regime com essa sobrecorrente (Expressão 9.13)
θ_R_e = θ_A + (θ_Z - θ_A) * n_e^2
println("\n--- (e) Tempo até a temperatura de sobrecarga (θ_S = 100 °C) ---")
println("θ_R (n = $n_e) = $(round(θ_R_e, digits=1)) °C")

# Relação de sobrecarga térmica m (Expressão 9.30)
m = (θ_S - θ_A) / (θ_Z - θ_A)
println("m = $(round(m, digits=2))\n")

# Tempo até θ_S partindo a frio (Expressão 9.35)
t_e_frio = k_T_adotado * log(n_e^2 / (n_e^2 - m))
println("Partida a frio  (Expressão 9.35): t ≅ $(round(t_e_frio, digits=1)) s")

# Tempo até θ_S partindo a quente (Expressão 9.36)
t_e_quente = k_T_adotado * log((n_e^2 - 1) / (n_e^2 - m))
println("Partida a quente (Expressão 9.36): t ≅ $(round(t_e_quente, digits=1)) s")
--- (a) Capacidade de condução de corrente ---
I_Z calculada = 36.77 A
Valor arredondado/adotado: I_Z ≅ 36 A

--- (b) Constante de tempo (k_T) ---
k_T calculado = 361.57 s
Valor arredondado/adotado: k_T ≅ 366 s

--- (e) Tempo até a temperatura de sobrecarga (θ_S = 100 °C) ---
θ_R (n = 1.45) = 114.1 °C
m = 1.75

Partida a frio  (Expressão 9.35): t ≅ 653.6 s
Partida a quente (Expressão 9.36): t ≅ 417.3 s

Curvas de Partida a Frio e a Quente

Para o cabo de \(6 \text{ mm}^2\) com sobrecorrente de \(43,2 \text{ A}\), a sobretemperatura final teórica seria \(\Delta\theta_R = 57,6 ^\circ\text{C}\). O comportamento térmico ao longo do tempo é dado por:

\[ \Delta\theta = \Delta\theta_R - (\Delta\theta_R - \Delta\theta_0) e^{-t/366} \]

Código 
using Plots

# Dados da Questão
k_T = 366                  # Constante de tempo (s)
t = 0:10:2500              # Vetor de tempo de 0 a 2500 segundos
t_h = t ./ 3600             # mesmo vetor, em horas (só para o eixo do gráfico)
Δθ_R = 57.6                # Sobretemperatura de regime da letra (d)

# (c.1) Partida a frio (θ_0 = θ_A = 30 °C  -->  Δθ_0 = 0)
Δθ_0_frio = 0
Δθ_frio = @. Δθ_R - (Δθ_R - Δθ_0_frio) * exp(-t / k_T)

# (c.2) Partida a quente (θ_0 = θ_Z = 70 °C  -->  Δθ_0 = 40 °C)
Δθ_0_quente = 40
Δθ_quente = @. Δθ_R - (Δθ_R - Δθ_0_quente) * exp(-t / k_T)

# Ponto de interesse prático (Regime alcançado em 4.6 * kT)
t_regime = 4.6 * k_T
t_regime_h = t_regime / 3600
Δθ_regime_frio = Δθ_R - (Δθ_R - Δθ_0_frio) * exp(-t_regime / k_T)

plt = plot(t_h, Δθ_frio,
    label="Partida a frio (Δθ₀ = 0)",
    linewidth=2,
    xlabel="Tempo (h)",
    ylabel="Sobretemperatura Δθ (°C)",
    # title="Evolução do Transitório Térmico",
    legend=:bottomright,             # Posição da legenda
    legendtitle="Condições iniciais",# Título da legenda
    size=(700, 350))                 # Largura x Altura em pixels

plot!(plt, t_h, Δθ_quente, label="Partida a quente (Δθ₀ = 40°C)", linewidth=2)

# Linha assintótica de regime
hline!(plt, [Δθ_R], label="Regime Permanente (Δθ_R = 57,6°C)", linestyle=:dash, color=:black)

# Marcando o ponto crítico (4.6 kT = 1.684 s ≅ 0,47 h)
scatter!(plt, [t_regime_h], [Δθ_regime_frio], color=:red, label="Regime 99% (t ≅ 0,47 h)")
annotate!(plt, t_regime_h, Δθ_regime_frio - 5, text("4,6 k_T", 10, :red, :right))

display(plt)
Fig. 10: Transitório e equilíbrio térmico no condutor isolado do exemplo; (a) partida a frio, (b) partida a quente.

Efeito da Temperatura Ambiente

Código 
using Plots

# Reaproveita o mesmo Δθ(t) do exemplo anterior (mesma física: k_T e Δθ_R não
# dependem da temperatura ambiente, só da corrente/cabo/isolação) -- muda
# apenas o patamar de onde a curva parte, θ_A.

k_T = 366
t = 0:10:2500
t_h = t ./ 3600           # eixo em horas
Δθ_R = 57.6
Δθ_frio = @. Δθ_R - (Δθ_R - 0) * exp(-t / k_T)   # partida a frio (Δθ₀ = 0)

θ_A1 = 30.0   # °C -- ambiente de referência do exemplo do livro
θ_A2 = 40.0   # °C -- ambiente industrial mais quente
θ_Z  = 70.0   # °C -- temperatura máxima para serviço contínuo (isolação PVC)

θ1 = θ_A1 .+ Δθ_frio
θ2 = θ_A2 .+ Δθ_frio

plt = plot(t_h, θ1,
    label="Ambiente 30°C (θ_R = $(θ_A1 + Δθ_R)°C)",
    linewidth=2,
    xlabel="Tempo (h)",
    ylabel="Temperatura do condutor θ (°C)",
    title="Efeito da Temperatura Ambiente",
    legend=:bottomright,
    size=(650, 380),
)
plot!(plt, t_h, θ2, label="Ambiente 40°C (θ_R = $(θ_A2 + Δθ_R)°C)", linewidth=2)
hline!(plt, [θ_Z], label="θ_Z = 70°C (limite de serviço contínuo)", linestyle=:dash, color=:red)

println("Regime permanente:")
println("  Ambiente 30°C -> θ_R = ", θ_A1 + Δθ_R, "°C  (margem até θ_Z: ", round(θ_Z - (θ_A1+Δθ_R), digits=1), "°C)")
println("  Ambiente 40°C -> θ_R = ", θ_A2 + Δθ_R, "°C  (margem até θ_Z: ", round(θ_Z - (θ_A2+Δθ_R), digits=1), "°C)")

display(plt)
Fig. 11: Temperatura absoluta do condutor (\(\theta = \theta_A + \Delta \theta\)) para dois ambientes – mesmo cabo, mesma sobrecorrente, partida a frio. 
Regime permanente:
  Ambiente 30°C -> θ_R = 87.6°C  (margem até θ_Z: -17.6°C)
  Ambiente 40°C -> θ_R = 97.6°C  (margem até θ_Z: -27.6°C)

Curvas de Sobrecarga: \(t = f(n)\)

Fixados o condutor/cabo (que define \(k_T\)) e a isolação/temperatura ambiente (que define \(m\)), as expressões 9.35 e 9.36 fornecem, para cada relação de sobrecarga \(n = I/I_Z\), o tempo necessário para o condutor atingir a temperatura de sobrecarga \(\theta_S\) — são as curvas de sobrecarga do condutor ou cabo isolado.

  • Quanto maior a sobrecorrente \(n\), menor o tempo para atingir \(\theta_S\).
  • A partida a quente (condutor já em \(\theta_Z\)) sempre atinge \(\theta_S\) mais rapidamente que a partida a frio, pois parte de uma temperatura inicial mais alta.
  • Domínio válido das curvas: \(n^2 > m\) (abaixo disso, \(\theta_S\) nunca é atingida em regime).
Código 
using Plots

k_T = 300   # Constante de tempo de referência (s)
m = 2       # Relação de sobrecarga térmica de referência

n = range(sqrt(m) + 1e-3, 15, length=400)  # domínio válido: n² > m

# Tempo até θ_S partindo a frio (Expressão 9.35)
t1 = @. k_T * log(n^2 / (n^2 - m))

# Tempo até θ_S partindo a quente (Expressão 9.36)
t2 = @. k_T * log((n^2 - 1) / (n^2 - m))

plt = plot(n, t1,
    label="Partida a frio (t₁)",
    linewidth=2,
    xlabel="Relação de sobrecarga n = I/Iz",
    ylabel="Tempo t (s)",
    title="Curvas de sobrecarga t = f(n)",
    xscale=:log10,
    yscale=:log10,
    xticks=([1, 1.5, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15], ["1", "1,5", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "9", "10", "15"]),
    legend=:topright,
    size=(700, 420))

plot!(plt, n, t2, label="Partida a quente (t₂)", linewidth=2, linestyle=:dash)

# Ponto de exemplo citado no livro: n = 4
n_ex = 4
t1_ex = k_T * log(n_ex^2 / (n_ex^2 - m))
t2_ex = k_T * log((n_ex^2 - 1) / (n_ex^2 - m))
scatter!(plt, [n_ex, n_ex], [t1_ex, t2_ex], color=:red, label="n = 4 (exemplo do livro)")

println("Para n = 4: t1 (a frio) ≅ $(round(t1_ex, digits=1)) s, t2 (a quente) ≅ $(round(t2_ex, digits=1)) s")

display(plt)
Para n = 4: t1 (a frio) ≅ 40.1 s, t2 (a quente) ≅ 20.7 s
Fig. 12: Curvas t = f(n) para kT = 300 s e m = 2, considerando partida a frio (t1) e a quente (t2).

Curtos-Circuitos

Para sobrecorrentes muito elevadas (da ordem de 10 a 20 vezes \(I_Z\)), o aquecimento é tão rápido que pode ser considerado adiabático (sem dissipação de calor para o meio, pois não há tempo para isso).

A energia térmica fica toda acumulada no próprio condutor, respeitando a equação:

\[ I^2 t = \Delta\theta_k \cdot c \gamma S l \]

Onde a capacidade térmica do condutor é dada pelas suas propriedades físicas:

  • \(c\): calor específico do material do condutor (J/g °C).
  • \(\gamma\): massa específica (densidade) do condutor (g/cm³).
  • \(S\): seção transversal do condutor.
  • \(l\): comprimento do condutor.

As normas fixam limites estritos de temperatura máxima de curto-circuito para não derreter o cabo (ex: \(160 ^\circ\text{C}\) para PVC, \(250 ^\circ\text{C}\) para EPR/XLPE).

Queda de Tensão nos Circuitos

Introdução

A tensão nos terminais do equipamento deve ser igual à tensão nominal. Limites de queda de tensão são impostos para não sacrificar o desempenho.

  • Em lâmpadas, afeta drasticamente o fluxo luminoso e a vida útil.
  • Em motores, reduz o conjugado de partida e eleva a temperatura.
  • Fases desequilibradas causam conjugado negativo (frenagem) em motores trifásicos.

Cálculo de Queda de Tensão

Para carga concentrada na extremidade:

\[ \Delta U = t \cdot I_B \cdot l (r \cos \phi + x \text{ sen } \phi) \]

Para cargas distribuídas, calcula-se o somatório dos trechos.

Fig. 13: Carga concentrada na extremidade do circuito
Fig. 14: Circuito com cargas distribuídas.

Exemplo: Dimensionamento pela Queda de Tensão

  1. Determinar a queda de tensão para um condutor de \(120 \text{ mm}^2\).
  2. Redimensionar o condutor para uma queda de tensão máxima de 2%.
  • Corrente de projeto: \(I_B = 210 \text{ A}\).
  • Condutores isolados de cobre com isolação de PVC.
  • Eletroduto circular de PVC em instalação aparente (B1).
  • Temperatura ambiente: \(\theta_A = 30 ^\circ\text{C}\).
  • Circuito trifásico a três condutores, \(220 \text{ V}\), com \(\cos\phi = 0,8\).
  • Comprimento do circuito: \(l = 100 \text{ m}\) (\(0,1 \text{ km}\)).
Código 
# Dados Iniciais
I_B = 210.0           # Corrente de projeto (A)
V_nom = 220.0         # Tensão nominal (V)
l_km = 100.0 / 1000.0 # Comprimento (km)

# --- Cálculos do Desafio 1: S = 120 mm² ---
# Da Tabela 9.17 (eletroduto não magnético, trifásico, cosφ = 0.8):
ΔU_unit_120 = 0.36
ΔU_volts_120 = ΔU_unit_120 * I_B * l_km
ΔU_perc_120 = (ΔU_volts_120 / V_nom) * 100

# --- Cálculos do Desafio 2: Limitando a queda a 2% ---
ΔU_perc_max = 2.0
ΔU_volts_max = (ΔU_perc_max * V_nom) / 100
ΔU_unit_max = ΔU_volts_max / (I_B * l_km)

# --- Impressão Lado a Lado (Colunas) ---
w = 42 # Espaço reservado para a primeira coluna

linha1_1 = "--- Desafio 1: Seção de 120 mm² ---"
linha1_2 = "--- Desafio 2: Limite de 2% ---"

linha2_1 = "Queda de tensão (V) = $(round(ΔU_volts_120, digits=2)) V"
linha2_2 = "Queda máxima admissível = $(round(ΔU_volts_max, digits=2)) V"

linha3_1 = "Queda de tensão (%) = $(round(ΔU_perc_120, digits=2)) %"
linha3_2 = "Queda unitária exigida <= $(round(ΔU_unit_max, digits=3)) V/A.km"

println(rpad(linha1_1, w) * linha1_2)
println(rpad(linha2_1, w) * linha2_2)
println(rpad(linha3_1, w) * linha3_2)
println() # Pula uma linha

# --- Conclusão Final ---
# Consultando novamente a Tabela 9.17:
# Precisamos de um valor <= 0.209 V/A.km. 
# O mais próximo inferior é 0.19 V/A.km (S = 400 mm²).
S_adotado = 400

println("--- Conclusão Final ---")
println("Seção adotada pelo critério de Queda de Tensão: S = $S_adotado mm²")
println("Moral da História: O dimensionamento final deve ser sempre a MAIOR bitola entre os dois critérios!")
--- Desafio 1: Seção de 120 mm² ---       --- Desafio 2: Limite de 2% ---
Queda de tensão (V) = 7.56 V              Queda máxima admissível = 4.4 V
Queda de tensão (%) = 3.44 %              Queda unitária exigida <= 0.21 V/A.km

--- Conclusão Final ---
Seção adotada pelo critério de Queda de Tensão: S = 400 mm²
Moral da História: O dimensionamento final deve ser sempre a MAIOR bitola entre os dois critérios!

Exemplo Típico de Queda de Tensão

Ilustração de como a queda de tensão vai se acumulando ao longo dos trechos da instalação, desde a origem até o equipamento final (motor).

Fig. 15: Exemplo típico de queda de tensão em instalação BT

Valores Limites de Queda de Tensão (NBR 5410)

Limites globais admitidos pela norma, desde a origem da instalação até o equipamento:

  • 7%: Calculados a partir do secundário do transformador MT/BT (quando de propriedade do consumidor).
  • 7%: A partir do secundário do transformador MT/BT da concessionária, se o ponto de entrega for localizado ali.
  • 5%: A partir do ponto de entrega, nos demais casos (quando o fornecimento já é entregue em baixa tensão).
  • 7%: A partir dos terminais do gerador, no caso de grupo gerador próprio.

Atenção: Em nenhum caso, a queda de tensão exclusiva dos circuitos terminais pode ser superior a 4%.

Esquema Visual dos Limites da NBR 5410

Resumo esquemático dos limites máximos detalhados no slide anterior:

Fig. 16: Limites de queda de tensão alimentada por concessionária ou transformador próprio

Seção do Condutor Neutro

Dimensionamento por Terceiros Harmônicos

Em circuitos trifásicos com presença de componentes harmônicas de ordem múltipla de 3 (ex: computadores, reatores eletrônicos), essas correntes se somam no neutro.

  • \(\text{THD}_3 \lt 15\%\): o neutro pode ser menor que o condutor de fase (para seções grandes).
  • \(15\% \leq \text{THD}_3 \leq 33\%\): o neutro deve ter seção igual à do condutor de fase.
  • \(\text{THD}_3 \gt 33\%\): o neutro pode precisar ser maior que o condutor de fase, pois conduzirá mais corrente que as próprias fases.

Quando o Neutro pode ser menor que a Fase?

A NBR 5410 admite que a seção do neutro seja menor que a das fases (limitada aos valores tabelados), desde que as seguintes condições sejam atendidas simultaneamente:

  • Os condutores de fase tenham seção maior que \(25 \text{ mm}^2\).
  • O circuito trifásico com neutro seja praticamente equilibrado.
  • A taxa de 3ª harmônica e múltiplas (\(\text{THD}_3\)) seja menor que \(15\%\).
  • O condutor neutro seja protegido contra sobrecorrentes.

Exemplo: Dimensionamento com \(\text{THD}_3 < 15\%\)

Dimensionar as seções dos cabos de fase e neutro para um circuito de um transformador de 1.000 kVA (alimentando computadores, central telefônica).

  • 3 fases + neutro instalados sozinhos em bandeja, cabos unipolares em trifólio, EPR.
  • \(\theta_A = 30^\circ\text{C}\) (Método de referência F).
  • Correntes de fase: \(I_1 = 773,0\text{ A}\), \(I_3 = 64,0\text{ A}\), \(I_5 = 24,8\text{ A}\), \(I_7 = 12,8\text{ A}\).
Código 
# Dados Iniciais
I_1, I_3, I_5, I_7 = 773.0, 64.0, 24.8, 12.8

# Corrente de projeto total na fase (valor eficaz real da fundamental + harmônicas)
I_B = sqrt(I_1^2 + I_3^2 + I_5^2 + I_7^2)
println("I_B = $(round(I_B, digits=1)) A")

# Taxa de distorção harmônica da 3ª ordem (THD_3)
THD_3 = (I_3 / I_1) * 100
println("THD_3 = $(round(THD_3, digits=1)) %\n")

# --- Dimensionamento ---
# Como THD_3 < 15%, o neutro PODE ser menor que a fase.
# Da Tabela 9.7 (Método F, 3 condutores de EPR), para I_B = 776.1 A:
# A capacidade adequada mais próxima é I_Z = 823 A, que exige Seção = 400 mm²
S_fase = 400

# Como a fase é > 25 mm² (400 mm²), buscamos na Tabela 9.20 
# a seção reduzida permitida para o neutro:
S_neutro = 185

println("--- Especificação do Alimentador ---")
println("Fases: 3 cabos de $S_fase mm²")
println("Neutro: 1 cabo de $S_neutro mm² (reduzido!)")
I_B = 776.1 A
THD_3 = 8.3 %

--- Especificação do Alimentador ---
Fases: 3 cabos de 400 mm²
Neutro: 1 cabo de 185 mm² (reduzido!)

Exemplo: Dimensionamento com \(\text{THD}_3 > 33\%\)

Dimensionar as seções dos cabos de fase e neutro sob severa injeção de harmônicas. Circuito de um no-break de 100 kVA, trifásico.

  • 3 fases + neutro instalados sozinhos em bandeja, cabos unipolares em trifólio, EPR.
  • \(\theta_A = 30^\circ\text{C}\) (Método de referência F).
  • Correntes de fase: \(I_1 = 70\text{ A}\), \(I_3 = 45\text{ A}\), \(I_5 = 28\text{ A}\), \(I_7 = 12\text{ A}\).
Código 
# Dados Iniciais
I_1, I_3, I_5, I_7 = 70.0, 45.0, 28.0, 12.0

# Corrente de projeto total na fase
I_B = sqrt(I_1^2 + I_3^2 + I_5^2 + I_7^2)
println("I_B na Fase = $(round(I_B, digits=1)) A")

# Taxa de distorção harmônica da 3ª ordem (THD_3)
THD_3 = (I_3 / I_1) * 100
println("THD_3 = $(round(THD_3, digits=1)) %\n")

# --- Dimensionamento ---
# Como THD_3 > 33%, a NBR 5410 determina que o NEUTRO DEVE SER MAIOR QUE A FASE.
# As correntes de 3ª se somam no neutro! O cálculo exige o fator f_h (Tabela 9.21).
# Para 64.3%, f_h = 1.64.
f_h = 1.64

# A corrente de projeto do neutro será a corrente da fase majorada:
I_B_neutro = f_h * I_B
println("Corrente de projeto resultante no Neutro = $(round(I_B_neutro, digits=1)) A\n")

# Entrando na Tabela 9.7 (Método F, 3 condutores de EPR):
# Para a Fase (I_B = 88.6 A) -> S = 25 mm² (I_Z = 121 A)
S_fase = 25

# Para o Neutro (I_B_neutro = 145.3 A) -> S = 35 mm² (I_Z = 150 A)
S_neutro = 35

println("--- Especificação do Alimentador ---")
println("Fases: 3 cabos de $S_fase mm²")
println("Neutro: 1 cabo SUPERDIMENSIONADO de $S_neutro mm²")
I_B na Fase = 88.6 A
THD_3 = 64.3 %

Corrente de projeto resultante no Neutro = 145.3 A

--- Especificação do Alimentador ---
Fases: 3 cabos de 25 mm²
Neutro: 1 cabo SUPERDIMENSIONADO de 35 mm²

Referências

  • COTRIM, Ademaro A. M. B. Instalações Elétricas. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.

Exercícios

Exercício 1

Do que dependem os danos que uma isolação de um condutor pode sofrer?

Dependem não só da temperatura alcançada, mas também (e principalmente) da duração da solicitação térmica.

Exercício 2

O que é a capacidade de condução de corrente para uma dada instalação?

É a corrente que, circulando continuamente pelo condutor, produz a máxima sobretemperatura de regime admissível para aquela isolação específica.

Exercício 3

Qual a relação entre a vida útil do cabo e a temperatura?

Estima-se que para cada \(5 ^\circ\text{C}\) acima da temperatura máxima de serviço contínuo (\(\theta_Z\)), a vida útil do cabo cai pela metade.

Exercício 4

Que tipos de circuitos caracterizam 2 ou 3 condutores carregados?

2 condutores: circuitos monofásicos ou bifásicos sem neutro.

3 condutores: circuitos trifásicos sem neutro ou monofásicos a 3 condutores (fase-fase-neutro).

Exercício 5

Quais são os fatores de correção da capacidade de condução?

  • Fator de correção de temperatura ambiente/solo (\(f_1\)),
  • fator de correção da resistividade térmica do solo (\(f_2\)) e
  • fator de correção de agrupamento de circuitos (\(f_3\)).

Exercício 6

Quais as temperaturas de sobrecarga para PVC, EPR e XLPE?

  • PVC: \(100 ^\circ\text{C}\)
  • EPR e XLPE: \(130 ^\circ\text{C}\)

Exercício 7

Quais as temperaturas de curto-circuito para PVC, EPR e XLPE?

  • PVC: \(160 ^\circ\text{C}\)
  • EPR e XLPE: \(250 ^\circ\text{C}\)

Exercício 8

Quais os efeitos de desequilíbrios de tensão em motores de indução?

O desequilíbrio cria componentes de sequência negativa que atuam freando a rotação do rotor, produzindo acentuadas perdas Joules adicionais e vibrações mecânicas.

Exercício 9

Quais os limites de queda de tensão da NBR 5410?

A partir de transformador MT/BT próprio: 7%.

A partir de rede pública em baixa tensão: 5% (do ponto de entrega até o equipamento) ou 7% (em casos específicos). A queda no circuito terminal não deve ultrapassar 4%.

Exercício 10

Quando o neutro deve ter seção menor, igual ou maior que as fases?

  • Menor: circuitos equilibrados sem harmônicas ou com THD_3 < 15% (e fase > 25 mm²).
  • Igual: circuitos com 15% <= THD_3 <= 33% (computadores comuns).
  • Maior: circuitos com taxa de terceira harmônica acima de 33% (pois as harmônicas se somam no neutro).

Obrigado!

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